Pladsen er opkaldt efter skipper Jens Eybertsen, der levede 1756-1811.
Han ejede huset Jens Eyberts Plads 6, som er et karakteristisk byggeri fra 1700-tallets midte.
Pladsen var tidligere en del Store Brøndstræde, som var der gamle navn for den nuværende Sønderstræde.
Beboere i gaden søgte flere gange kommunalbestyrelsen om at få gadens navn ændret. Måske fordi den gade i København (en sidegade til Gothersgade), hvis navn var blevet ”genbrugt”, ikke hørte til de mest velrenommerede. Her var værtshuse med et tvivlsomt klientel og en del af byens bordeller.
Navnet blev ændret i 1930. Dengang hed pladsen Fischers Plads – måske efter én af beboerne.
I 1942 forsøgte man igen en navneændring, og beboerne foreslog Amsterdamfed eller Ved Sønderenden – men ingen af navnene faldt i Kommunalbestyrelsens smag. Så pladsen blev i stedet opkaldt efter dens tidligere beboer, Jens Eybertsen.
Den østlige side var bebygget i slutningen af 1600-tallet, mens den vestlige og sydlige side formodentlig er kommet til i det første og andet årti af 1700-tallet.
Brønden midt på pladsen var langt op i 1700-tallet byens eneste offentlige brønd, men da man så i slutningen af århundredet fik flere brønde, hed denne herefter “Byens brønd”.
I begyndelsen af 1750’erne forlangte amtmanden, at pladsen på byens bekostning blev opfyldt og planeret – og måske også brolagt. Der skulle i hvert fald være mulighed for at køre og vende med heste og vogne.
Når der blev afholdt den årlige session, var amtmanden og andre embedsmænd til stede, og deres vogne skulle parkere således, at de var sikre på at kunne komme derfra igen. I tilfælde af ildebrand skulle flere vogne også nemt kunne komme til og fra brønden.
Jens Eyberts hus i nr. 6 var oprindeligt et ”to-holdshus”, dvs. at det var bygget til to familier med hver deres indgang. Huset er ét af de ældste i Dragør og formentlig opført i midten af 1700-tallet.
Jens Eybert havde en jagt, ”Rosen”, som han brugte til at sejle brænde fra provinsen til København.
Huset er fredet og det prægtige interiør fra sengekammeret er nu på Dragør Museum.