Gaden har navn efter et kvæsthus, der blev anlagt i 1680’erne.
Kvæsthus var datidens betegnelse for et hospital for “kvæstede” – altså syge.
Kvæsthuset blev opført for Marinen, og patienterne var f.eks. matroser, men også marinens håndværkere, der boede i Nyboder.
Marinens folk ønskede deres eget sygehus, fordi de ikke ville ligge sammen med landsoldaterne.
Kvæsthuset blev lagt direkte ud mod havnekajen, så syge søfolk kunne bringes direkte ind på hospitalet.
Kvæsthuset havde fire sygestuer med plads til 60 patienter på hver. Dermed var der i alt plads til 240 patienter, men i tilspidsende situationer var der indlagt mange flere.
F.eks. strømmede der efter slaget i Køge Bugt i 1710 mere end 1.000 sårede ind. Året efter, da der var pestepidemi i København, kom antallet af indlagte op på over 1.300, og dermed var kvæsthuset ganske overfyldt.
I 1700-tallet modtog kvæsthuset også fattige søfolk, der ikke kunne forsørge sig selv. De havde pligt til at arbejde, men arbejdet var hårdt og ofte stak de fattige af og strejfede rundt i København. Det straffede man ved at give dem mindre af spise.
I 1777 blev kvæsthuset flyttet til en nyopført Søkvæsthus på Christianshavn.
Herefter blev huset ved Kvæsthusgade omdannet til pakhus og til bearbejdning af tekstiler, der ankom med skibe til København.
I 1827 blev det indrettet til kaserne og i 1872 blev det overtaget af rederiet DFDS, som placerede sit hovedkontor her.
Huset eksisterer stadig, og er i dag hovedsæde for Dansk Sygeplejeråd.
Kvæsthusgade er i dag mod havnen domineret af Skuespilhusets bygning.