Gadens navn henviser til Aldersro Bryggeri, der lå ved Aldersrogade.
Byggergade blev anlagt omkring 1905 som en del af industrikvarteret omkring Teglværksgade. På datidens kort kaldes den også Bryggerigade.
På hjørnet af Ragnagade lå medicinalvirksomheden Nordisk Droge og Kemikalie A/S.
Firmaet blev udbygget i 1930’erne og 1940’erne og fik opført flere bygninger. På billedet herover ses virksomheden i midten af billedet. Ud mod Teglværksgade lå en kontorbygning.
Bagved gik den nu nedlagte Rytterknægtgade, der nu kun eksisterer som en parkeringsplads og en passage.
Hvor Nordisk Droge lå, blev Deborah-centeret (herover) opført i 2007. Det er nu den eneste bygning i Bryggergade.
Deborah-centeret er et plejehjem, der drives af Det Jødiske Samfund, men som ikke er forbeholdt jøder. Hjemmet er opstået som en sammenlægning af de to jødiske plejehjem N.J. Frænckels Stiftelse på Dyrkøb og Meyers Minde i synagogen i Krystalgade.