Sophus Engelsted (1823-1914) var læge og arbejdede for bekæmpelse af tuberkulose.
Han var i en årrække ansat på Kommunehospitalet og desuden i en periode medlem af Københavns Borgerrepræsentation.
Kvarteret, som Engelstedsgade ligger i, blev bebygget af Arbejdernes Byggeforening fra 1906 til 1929, som her opførte 324 boliger for sine medlemmer.
Foreningens formand, F. F. Ulrik bestemte, at de gaderne i kvarteret skulle navngives efter læger.
Husene var tegnet af arkitekten Christen Larsen (1857-1930).
Byggeforeningshusene er i tre etager og har små forhaver samt en gårdhave.
I Engelstedsgade boede forfatteren og tegnere Ib Spang Olsen (1921-2012), der skrev om sine barndomserindringer fra kvarteret i bogen “Lille dreng på Østerbro”.