Gaden er opkaldt efter de kongelige fiskedamme, som lå her i 1600-tallet.
Her opdrættede man bl.a. karper. Dammene var anlagt på foranledning af kong Frederik den 3. og de erstattede andre fiskedamme, der havde ligger udenfor for Vesterport.
Kortet herover fra 1770 viser dammene længst til højre. Gaden nederst svarer til vore dages Classensgade og til venstre går Østerbrogade.
Dammene fik vand fra Sortedamssøen og efterhånden blev det så forurenet af farvestof fra de virksomheder, der farvede bomuld, at karperne blev blå.
Senere blev dammene til søer, der indgik i et lystanlæg, som var en del af fabrikant J. F. Classens park. Det var et populært sted at løbe på skøjter om vinteren, og det gjorde bl.a. kong Christian den 9.’s børn.
I 1890’erne blev dammene imidlertid fyldt op og den nuværende bebyggelse opført. Bl.a. ligger Holsteinsgades Skole, hvor fiskedammene var.
Selv om Fiskedamsgade har et navn med en gammel historie, fik den først sit navn i midten af 1920’erne. Tidligere hed den Classensvej.
I Fiskedamsgade ligger Frihavnskirken.