Hvor Kvæsthusgade ligger i dag, blev der i 1680’erne anlagt et kvæsthus. Det var datidens betegnelse for et hospital for “kvæstede” – altså syge.
Kvæsthuset blev opført for Marinen, og patienterne var f.eks. matroser, men også marinens håndværkere, der boede i Nyboder. Marinens folk ønskede deres eget sygehus, fordi de ikke ville ligge sammen med landsoldaterne.
Kvæsthuset kunne rumme ca. 240 patienter, men i tilspidsende situationer var der indlagt mange flere. F.eks. strømmede der efter slaget i Køge Bugt i 1710 mere end 1000 sårede ind. Året efter, da der var pestepidemi i København, var kvæsthuset ligeledes overfyldt.
I 1700-tallet modtog kvæsthuset også fattiglemmer, der ikke kunne forsørge sig selv.
I 1777 blev kvæsthuset flyttet til Overgaden Oven Vandet på Christianshavn. Herefter blev huset ved Kvæsthusgade omdannet til pakhus og til bearbejdning af tekstiler, der ankom med skibe til København. I 1827 blev det indrettet til kaserne og i 1872 blev det overtaget af rederiet DFDS, som placerede sit hovedkontor her.
Huset eksisterer stadig, og er i dag hovedsæde for Dansk Sygeplejeråd.
For enden af gaden ligger Kvæsthusmolen, som blev anlagt i midten af 1800-tallet. Den var tidligere en livlig del af Københavns Havn. Tegningen herover er udført af Anders Tikøb og har titlen “Afrejse med dampskibet”.
Endnu i årene efter 2. Verdenskrig og frem til 1970 afgik der rutebåde fra Kvæsthusmolen til provinsen, f.eks. Århus og Aalborg.
I dag er der ingen skibstrafik længere, og molen blev i 2016 ombygget dels fritidsaktiviteter, dels til underjordisk parkering for Skuespilhusets gæster.
Kvæsthusgade er i dag mod havnen domineret af Det Kongelige Teaters bygning, Skuespilhuset. For enden af gaden ligger Sankt Annæ Plads og Kvæsthusmolen, der i dag kaldes Ofelia Beach.
