Vejen har navn efter institutionen Gammel Kloster, der ligger her.
Gammel Kloster var en velgørende institution med rødder i Helligåndshuset i det indre København, som tog sig af syge og fattige. Klosteret fortsatte som Vartov Hospital, der gennem historien lå flere steder.
I 1930’erne flyttede klosteret nyopførte bygninger på en grund mellem Klostervænget, Lersø Parkallé, Biskop Krags Vænge og Aldersrogade.
Bygningerne blev tegnet af arkitekten Aage Rafn (1890-1953).
I dag er Gammel Kloster en stiftelse, der drives som et plejehjem i overenskomst med Københavns Kommune.
Klostervængets Skole blev bygget i 1932 med Poul Holsøe (1873-1966) som arkitekt. Her var fra starten plads til næsten 1.200 elever.
Skolen skiftede i 2013 navn til Nørre Fælled Skole.